Partie I · Contrôle MMT / CMM · Chapitre 25
Association mathématique Mathematical association
La machine relève des points. La tolérance porte sur une forme parfaite ajustée à ces points. Il y a plusieurs façons d’ajuster, et elles ne donnent ni le même diamètre ni le même centre. Le réglage d’origine n’est pas une réponse.
Publié · version 1.0 · 17 octobre 2026. Validé par l’éditeur : 13 valeurs recalculées à chaque construction, liens et cohérence vérifiés. Pour une décision contractuelle, la règle se lit dans le texte de la norme.
Étapes de la chaîne traitées par ce chapitre : Fonction, Plan 2D, Interprétation, Zone, Pièce réelle, Stratégie, CMM / MMT, Résultat, Décision.
Sur cette page
Mesuré, associé, dérivé, simulé
Élément mesuré
Les points palpés : rien d’autre n’est connu.
Élément associé
Forme parfaite ajustée aux points, selon un critère.
Élément dérivé
Centre ou axe : calculé depuis l’élément associé.
Référence simulée
Pige ou mandrin réel, ou son équivalent calculé.
Légende : PalpageZone de toléranceÉlément réel
Hypothèses et unités de la figure
- Données
- Les 24 points de la section 25.3.
- Statut
- Graphique : redessiné. Technique : validé (v1.0).
| Terme | Anglais | Ce que c’est | Ce qui peut le fausser |
|---|---|---|---|
| Élément mesuré | Measured feature | Les points relevés sur la surface réelle : l’élément extrait du chapitre 2 | Points trop rares ou mal placés, bille, saleté, filtre |
| Élément associé | Associated feature | La forme parfaite ajustée à ces points, selon un critère : plan, cercle, cylindre | Un critère qui ne répond pas à l’exigence du plan |
| Élément dérivé | Derived feature | Un centre, un axe, un plan médian : calculé depuis l’élément associé | Tout ce qui fausse l’élément associé ; une portée trop courte |
| Référence simulée | Simulated datum | La référence telle qu’un moyen la réalise : marbre, pige, mandrin, ou leur équivalent calculé | Les défauts du moyen ; pour le calcul, son critère (chapitre 6) |
Quatre critères, plus un
| Critère | Anglais | Code | Ce qu’il cherche | Image physique | Il réagit surtout |
|---|---|---|---|---|---|
| Moindres carrés | Least squares, LSQ, Gauss | G | La plus petite somme des carrés des écarts | Aucune : un élément moyen | Peu à un point isolé |
| Zone minimale | Minimum zone, Tchebychev | C | Les deux éléments parfaits les plus serrés | La zone de tolérance | Aux points extrêmes, des deux côtés |
| Inscrit maximal | Maximum inscribed | X | Le plus grand élément contenu dans les points | Le plus gros tampon qui entre | Aux points qui rentrent : poussière |
| Circonscrit minimal | Minimum circumscribed | N | Le plus petit élément qui contient les points | La plus petite bague qui passe | Aux points qui dépassent : bavure |
| Élément tangent | Tangent, outside material | CE, GE | Un plan ou une droite posé sur les points saillants | Le marbre, la règle | Aux points saillants : chapitre 6 |
Codes d’ISO 1101:2017, relevés dans le mémento de la DGQ 2023 ; CI et GI contraignent de même du côté de la matière. Ils s’écrivent dans le cadre, après la valeur. Les cadres de cette encyclopédie n’en portent pas : la forme y est jugée par la zone minimale, définition de la zone de tolérance ; un autre critère se demande en l’écrivant.
Les deux premiers s’appliquent à tout élément. L’inscrit et le circonscrit n’ont de sens que pour un élément qui a une taille : cercle, cylindre, sphère, deux plans parallèles. L’élément tangent sert surtout pour les plans et les droites.
Un texte à part. ASME Y14.5.1-2019, Mathematical Definition of Dimensioning and Tolerancing Principles, donne la définition mathématique des tolérances d’ASME Y14.5. Pour l’axe d’une entité, ASME retient l’enveloppe d’accouplement, actual mating envelope : plus grand cylindre inscrit pour un alésage, plus petit cylindre circonscrit pour un arbre. En ISO, l’élément jugé par défaut est la ligne médiane extraite, faite des centres des sections (chapitres 2 et 9).
Rapporté d’après les sources publiques de la norme (registre N22) ; en cas de litige, le texte officiel fait foi.
Le même alésage, quatre réponses
Un alésage de Ø20, relevé en 24 points dans une section. Sa localisation est tolérancée à Ø0,04ABC. Les mêmes points sont associés de quatre façons.
Le relevé : 24 points, écarts amplifiés
Les quatre centres, autour de la position théorique
Légende : PalpageZone de toléranceConformeNon conforme
Hypothèses et unités de la figure
- Calcul
- Associations linéarisées (fonction associationsCercle, testée) : moindres carrés, zone minimale, inscrit maximal, circonscrit minimal.
- Échelle
- Écarts radiaux amplifiés ; à droite, 1 µm = 6 unités.
- Statut
- Graphique : redessiné. Technique : validé (v1.0).
| Critère | Diamètre | Centre X ; Y (µm) | Localisation | Zone de Ø0,04 |
|---|---|---|---|---|
| Inscrit maximal | Ø20,026 | 6,7 ; −12,9 | Ø0,029 | Dans la zone |
| Moindres carrés | Ø20,039 | 12,5 ; −12,4 | Ø0,035 | Dans la zone |
| Zone minimale | Ø20,037 | 15,1 ; −14,0 | Ø0,041 | Hors zone |
| Circonscrit minimal | Ø20,053 | 16,6 ; −17,6 | Ø0,048 | Hors zone |
Un seul relevé, et l’alésage est bon ou mauvais selon le critère. L’écart atteint 0,027 sur le diamètre et 0,019 sur la localisation. Aucun de ces calculs n’est faux : ils ne répondent pas à la même question.
Pour l’axe d’un alésage, les normes en désignent deux. ISO juge les centres des sections ; l’ancienne ISO 14660-2 les associait aux moindres carrés (chapitre 9). ASME juge l’axe du plus grand cylindre inscrit. Les deux lectures acceptent ici la pièce : Ø0,035 et Ø0,029. La zone minimale et le circonscrit minimal, que ni l’une ni l’autre ne retient pour l’axe d’un alésage, la refuseraient.
Quel critère pour quelle question
| Ce que demande le plan | Critère adapté | Pourquoi | Voir |
|---|---|---|---|
| Un écart de forme : rectitude, planéité, circularité, cylindricité | Zone minimale | C’est la définition de la zone : les deux éléments parfaits les plus serrés | Ch. 9 à 12 |
| La taille d’un alésage qui reçoit un arbre ; son côté maximum de matière | Inscrit maximal | Le plus gros arbre parfait qui entre | Ch. 3, 22 |
| La taille d’un arbre qui entre dans un alésage ; son côté maximum de matière | Circonscrit minimal | La plus petite bague parfaite qui passe | Ch. 3, 22 |
| Une taille moyenne ; le suivi d’un procédé | Moindres carrés | Valeur stable, peu sensible à un point isolé | Ch. 3 |
| Une référence sur une face plane | Plan tangent, extérieur à la matière | Le marbre : il porte sur les points saillants | Ch. 6 |
| Une référence sur un alésage, sur un arbre | Inscrit maximal, circonscrit minimal | La pige, la bague | Ch. 6, 8 |
| L’axe d’un alésage : localisation, coaxialité, perpendicularité | ISO : centres des sections. ASME : axe du plus grand cylindre inscrit | Les deux systèmes ne jugent pas le même élément | Ch. 2, 9, 16 |
Le réglage d’origine n’est pas un argument. Beaucoup de logiciels calculent d’abord en moindres carrés : c’est un choix de robustesse, pas une lecture du plan. L’élément des moindres carrés est un élément moyen : il traverse la surface au lieu de s’y appuyer. Dès que la fonction est un contact, une pige qui entre, une face qui porte, une zone qui enferme, un autre critère s’impose.
Trois cas déjà rencontrés : l’écart de forme surestimé, 0,052 au lieu de 0,044 (chapitre 10) ; le plan de référence qui traverse la matière (chapitre 6) ; le bonus exagéré au maximum de matière (chapitre 22).
Un critère hérite de la stratégie
L’inscrit, le circonscrit, la zone minimale et l’élément tangent s’appuient sur quelques points, deux à quatre. Si l’un d’eux est faux, ou s’il manque, le résultat change. Les moindres carrés pèsent tous les points : un seul compte peu.
Une poussière sous le point 10
Un seul point déplace l’inscrit. En pointillé bleu : l’inscrit avant la poussière.
Huit points au lieu de vingt-quatre
Le point serré n’a pas été vu. En gris : les points qui n’ont pas été palpés.
Légende : PalpageZone de toléranceNon conforme
Hypothèses et unités de la figure
- Hypothèse
- Huit points : un sur trois, à partir du point 1.
- Calcul
- Mêmes associations que la figure 25.2, sur les points modifiés.
- Statut
- Graphique : redessiné. Technique : validé (v1.0).
Avec la poussière, l’inscrit perd 0,012 de diamètre et sa localisation passe de Ø0,029 à Ø0,051 : la pièce sort de la zone. Les moindres carrés bougent de moins de 0,002. Avec quatre points seulement, leur diamètre vaut encore Ø20,041 : cette stabilité explique leur succès. Elle ne les rend pas justes pour autant.
Quatre réglages distincts, à vérifier un par un : le critère des références, celui de l’élément tolérancé, celui de l’écart de forme, celui de la taille. Ils se règlent souvent à des endroits différents du logiciel.
Un critère de contact demande plus de points, une surface propre et un regard sur les points aberrants : chapitre 26. Écrire le critère dans la gamme, avant la mesure, et le rappeler dans le rapport à côté de chaque résultat.
Erreurs fréquentes
| Erreur | Pourquoi c’est incorrect | Correction |
|---|---|---|
| Garder le réglage d’origine pour tout | Les moindres carrés ne décrivent ni une zone, ni un contact | Un critère par usage : forme, taille, référence, axe |
| Comparer deux rapports sans connaître leurs critères | Sur un même relevé, l’écart atteint ici 0,019 sur la localisation | Noter le critère à côté de chaque résultat |
| Choisir le critère qui fait passer la pièce | Le critère se déduit de l’exigence, pas du résultat | Le fixer dans la gamme, avant de mesurer |
| Appliquer un critère de contact sur peu de points | Il s’appuie sur quelques points : un seul point faux le déplace | Plus de points, surface propre |
- Mesuré : les points. Associé : la forme parfaite ajustée. Dérivé : son centre, son axe. Simulé : la référence qu’un moyen réalise.
- Moindres carrés : l’élément moyen. Zone minimale : la plus serrée. Inscrit, circonscrit, tangent : des contacts.
- Le même relevé donne plusieurs diamètres et plusieurs centres. Le critère se lit dans l’exigence.
- Les moindres carrés ne sont pas justes parce qu’ils sont le réglage d’origine.
- Un critère de contact vaut ce que valent ses quelques points d’appui.
Voir aussi
- Chapitres : 2 — Éléments · 3 — Tailles · 6 — Association des références · 10 et 11 — Forme · 22 — Maximum de matière · 26 — Stratégie
- Annexe : I